જો ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નાભિલંબના એક અંત્યબિંદુ આગળનો અભિલંબ ગૌણ અક્ષના એક અંત્યબિંદુમાંથી પસાર થતો હોય,તો:

ધારો કે $A_1, A_2, A_3$ એ $XY$-સમતલમાં નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત પ્રદેશો છે:
$A_1 = \{(x, y) : x^2 + 2y^2 \leq 1\}$
$A_2 = \{(x, y) : |x|^3 + 2\sqrt{2}|y|^3 \leq 1\}$
$A_3 = \{(x, y) : \max(|x|, \sqrt{2}|y|) \leq 1\}$
તો,

એક ઉપવલયનું કેન્દ્ર $C$ છે,$PN$ એ કોઈ પણ ઓર્ડિનેટ (કોટિ) છે અને $A$,$A'$ એ મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓ છે,તો $\frac{PN^2}{AN \cdot A'N}$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $L$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b)$ ના બે સમાંતર અભિલંબ વચ્ચેનું અંતર છે,તો $L$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

ધારો કે $A=\{(\alpha, \beta) \in R \times R :|\alpha-1| \leq 4 \text{ અને }|\beta-5| \leq 6\}$ અને $B=\left\{(\alpha, \beta) \in R \times R : 16(\alpha-2)^2+9(\beta-6)^2 \leq 144\right\}$. તો

એક ઉપવલય (ellipse) ની ઉત્કેન્દ્રતા $2/3$ છે,નાભિલંબની લંબાઈ $5$ છે અને કેન્દ્ર $(0, 0)$ છે. તો ઉપવલયનું સમીકરણ શું થાય?